[คณิต] แนวคิดของอนุพันธ์

ความชัน (Slope) คืออะไร?

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย

ความชันของเส้นตรง (slope) คือ การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ x

rate of change of y with respect to rate of change of x
เป็นเรื่องเดียวกับการหา tan = ข้าม/ชิด
บางทีก็เรียกว่า rise over run

\[Slope = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

รูปแบบของ Slope

แล้วโยงไปเรื่องอนุพันธ์ได้ยังไง?

ข้อสังเกต เส้นตรงใดๆ ล้วนเกี่ยวพันกับความชัน เพราะมันมีอัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่ (constant rate of change) หมายความว่า ถ้าเราจิ้มจุด 2 จุดลงบนเส้นตรง ไม่ว่า 2 จุดนั้นจะใกล้/ห่างแค่ไหน ก็จะได้ความชันเดียวกันเสมอ

ดังนั้น ในแคลคูลัส จึงพยายามจะสร้างเครื่องมือที่ทำอะไรได้มากกว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลงในเส้นตรง" โดยการหา "อัตราการเปลี่ยนแปลงในเส้นโค้ง" (The instantaneous rate of change of a curve) ซึ่งพอมันเป็นเส้นโค้ง ก็จะมีการเปลี่ยนแปลงของ rate of change ตลอดเวลา ความชัน (rate of change) บน 1 หรือ 2 จุดใดๆ ในเส้นโค้ง ซึ่งเป็น constantly changing จึงไม่ได้เท่ากันเสมอเหมือนเส้นตรงแล้ว

การหาความชันระหว่างจุด 2 จุดที่ทำโดยทั่วไป ก็คือการอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยนั่นเอง ทำได้ด้วยการลากเส้นตัดกราฟ (Secant Line) แล้วหาความชัน

แล้วถ้าจะหาความชัน ณ จุดหนึ่งๆ ล่ะ?

Instantaneous rate of change at a point คืออะไร?

อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะใดๆ

How fast is y changing with respect to x exactly at that point? Exactly when x is equal to that value. คือเราต้องการรู้ว่า y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x มีค่า (เปลี่ยนแปลง) เท่านั้น
ที่เรียกว่าเป็น instantaneous rate เพราะถ้าแกน x เป็นเวลาแล้ว เราก็จะมองว่ามันเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น ณ เวลาขณะนั้น
พอความชันบนเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ มันไม่เท่ากัน เราเลยจะหาวิธีหาความชัน ณ จุด x หนึ่งๆ (จุดที่ว่าหมายถึง delta x ที่น้อยมากๆ จนแทบจะเป็นศูนย์ ก็เลยเหมือนมองเป็นจุด x ไป) ด้วยการสร้างเส้นตรงสัมผัสเส้นโค้ง (Tangent Line) ขึ้นมาแตะจุดนั้น แล้วหาความชันของเส้น tangent line แทน

อนุพันธ์ (Derivative) คืออะไร?

Derivative คือ Slope of a tangent line หรือก็คือ instantaneous rate of change นั่นเอง เขียนได้หลายแบบ

\[ Slope = \frac{rise}{run} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f'(x) = y' = \dot{y}\]

ข้อสังเกต

dx หมายถึง Δx เข้าใกล้ 0
y = f(x) หมายถึง เมื่อใส่ x จะได้ค่า y (corresponding to x)
y' = f'(x) หมายถึง เมื่อใส่ค่า x จะได้ความชันของ tangent line ณ จุด x

แล้วเกี่ยวกับ Limit ยังไง?

การจะหาความชันใดๆ มันต้องใช้ 2 จุด มีจุดแรกเป็น a (ซึ่ง x = a, y = f(a)) แล้ว เราเลยสมมติจุดที่สอง a+h (ซึ่ง x = a+h, y = f(a+h)) ขึ้นมา เมื่ออาศัยความรู้เรื่องอัตราเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยแล้วจะได้ว่า ความชันของเส้นตรงสัมผัส คือ

\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

ซึ่ง h มีค่าน้อยมากๆ เข้าใกล้ 0 เราเลยอาศัยความรู้เรื่อง Limit เข้ามาช่วย จะได้ว่า

ความชันของเส้นโค้ง y = f(x) ณ จุดที่ x = a คือ
ความชันของเส้นตรงสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (x, y) ซึ่งมีค่าเท่ากับ

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

นอกจากนี้ สมการเส้น tangent line (ในรูปของ y = mx + c) เรายังสามารถหาได้ หากเราทราบจุดสัมผัส (x1, y1) โดยใช้สูตร

\[ Slope = \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\]

ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นโค้ง y = x-2x^2 ที่จุด (1,-1) และหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนี้ด้วย

วิธีทำ

1) หาสมการที่ใช้หาความชัน มี 2 วิธี คือ

ด้วยวิธี Limit โดย แทน y = f(x) = x-2x^2 ในสมการ limit
ด้วยวิธีสูตรดิฟ

สุดท้ายจะได้คำตอบว่า m = 1 - 4x

2) หาความชัน ณ จุด (1,-1) ด้วยสมการความชันที่ได้ จะได้ m = 1 - 4(1) = -3

3) หาสมการเส้น tangent line จาการที่เราทราบ (x1, y1) = (1, -1) และ m = -3

\[ m = \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\]\[ -3 = \frac{y-(-1)}{x-1}\]\[ y = -3x + 2\]

Verzaru's Notes